Tabellen nedenfor viser, hvordan du differentiere og integrere 18 af de mest almindelige funktioner. Som du kan se, integration vender differentiering, returnere funktion til sin oprindelige tilstand, op til en konstant C.
Den Riemann Sum formel for bestemte integral
Den Riemann Sum formel giver en præcis definition af det bestemte integral som grænsen for en uendelig række. Den Riemann Sum formel er som følger:
Nedenfor er de trin for indbyrdes tilnærmelse af en integreret anvendelse af seks rektangler:
- Øge antallet af rektangler (n) for at skabe en bedre tilnærmelse:
- Forenkle denne formel ved factoring ud w fra hver valgperiode:
- Brug summation symbolet for at gøre denne formel endnu mere kompakt:
Værdien W er bredden af hver firkant:
Hver H-værdien er højden af et andet rektangel:
Så her er Riemann Sum formel for at tilnærme en integreret anvendelse af n rektangler:
- For en bedre tilnærmelse, bruge grænsen
- at tillade antallet af rektangler til tilgang infinity:
Integration af dele med DI-agonal metode
DI-agonal metode er dybest set integration ved dele med et diagram, der hjælper dig med at organisere information. Denne metode er især nyttig, når du har brug for at integrere med dele mere end én gang for at løse et problem. Brug følgende tabel til integration af dele ved hjælp af DI-agonal metode:
Summen regel, Constant Multiple regel, og Power regel for Integration
Når du udfører integration, er der tre vigtige regler, som du behøver at vide: Summen regel Constant Multiple reglen, og Power Regel.
Den Sum Regel for Integration fortæller dig, at det er ok at integrere lang udtryk sigt ved sigt. Her er det formelt:
The Constant Multiple regel for Integration fortæller dig, at det er ok at flytte en konstant uden for en integreret, før du integrerer. Her udtrykkes i symboler:
Power Regel for integration giver mulighed for at integrere nogen reel magt x (undtagen -1). Her er den Power Regel udtrykt formelt:
hvor n ≠ -1
Sådan Løs integraler med variabel Substitution
I Calculus, kan du bruge variable substitution til at vurdere en kompliceret integral. Variabel substitution giver dig mulighed for at integrere når Sum regel, Constant Multiple regel, og Power regel virker ikke.
- Erklær en variabel u, sæt den lig et algebraisk udtryk, der vises i den integrerede, og derefter erstatte u for dette udtryk i integral.
- Differentiere u for at finde
og derefter isolere alle x variabler på den ene side af lighedstegnet.
- Foretag en anden substitution at ændre dx og alle andre forekomster af X i integreret til et udtryk, der omfatter du.
- Integrer ved at bruge U som din nye variabel af integration.
- Udtryk dette svar i form af x.
Sådan bruges Integration af dele
Når du gør Calculus, formlen for integration af dele giver dig mulighed for at nedbryde et produkt af to funktioner til sine faktorer og integrere det i en ændret form. For at bruge integration af dele i Calculus, følge disse trin:
- Dekomponere hele integrerende (herunder dx) i to faktorer.
- Lad faktor uden dx lige u og den faktor med dx lige dv.
- Differentiere u for at finde du, og integrere dv at finde v.
- Brug formlen:
- Evaluer højre side af denne ligning til at løse integralet.
Sådan løser Sammensatte funktioner, hvor den indre Funktion er ax + b
Nogle integraler af sammensatte funktioner f (g (x)) er nemme at gøre hurtigt i Calculus. Disse omfatter sammensatte funktioner, som du ved, hvordan man kan integrere den ydre funktion f, og den indre funktion g (x) er af formen ax + b - altså at det skelner til en konstant.
Her er nogle eksempler:
Løs Sammensatte funktioner, hvor den indre Funktion er økse
Når regne Calculus problemer, nogle integraler af sammensatte funktioner f (g (x)) er nemme at gøre hurtigt. Disse omfatter sammensatte funktioner, som du ved, hvordan man kan integrere den ydre funktion f, og den indre funktion g (x) er af formen ax - altså at det skelner til en konstant.
Her er nogle eksempler:
