Forstå Interval af konvergens

I modsætning til geometriske serier og p -serie, en potensrække ofte konvergerer eller divergerer baseret på dens x-værdi. Dette fører til et nyt begreb, når der beskæftiger sig med potensrække: intervallet konvergens.

Intervallet af konvergens for en potensrække er det sæt af x-værdier, for hvilke denne serie konvergerer.

Intervallet af konvergens er aldrig tom

Hver potensrække konvergerer til en vis værdi af x. Det vil sige, interval konvergens for en potensrække er aldrig den tomme mængde.

Selv om dette faktum har nyttige konsekvenser, det er faktisk temmelig meget en no-brainer. For eksempel, tage et kig på følgende potensrækker:

Forstå Interval af konvergens

Når x = 0, denne serie evalueres til 1 + 0 + 0 + 0 + ..., så det naturligvis konvergerer mod 1. På samme måde, tage et kig på denne potensrække:

Forstå Interval af konvergens

Denne gang, når x = -5, serien konvergerer mod 0, lige så trivielt som det sidste eksempel.

Bemærk, at i begge disse eksempler, serien konvergerer trivielt ved x = a for en potensrække centreret ved en.

Tre muligheder for intervallet af konvergens

Tre er mulighed for det interval af konvergensen af ​​en potensrække:

  • Serien konvergerer, når x = a.
  • Serien konvergerer på nogle interval (åben eller lukket i begge ender) centreret på et.
  • Serien konvergerer for alle reelle værdier af x.

For eksempel antage, at du ønsker at finde intervallet konvergens til:

Forstå Interval af konvergens

Denne magt serien er centreret ved 0, så det konvergerer når x = 0. Ved hjælp af forholdet test, kan du finde ud af, om det konvergerer til andre værdier af x For at starte ud, konfigurere følgende grænse.:

Forstå Interval af konvergens

For at evaluere denne grænse, starter ud ved at annullere xn i tæller og nævner:

Forstå Interval af konvergens

Dernæst distribuere at fjerne parentes i tælleren:

Forstå Interval af konvergens

Som det er nu, denne grænse er af formen

Forstå Interval af konvergens

så anvende L'Hôpitals regel, differentiere over variable n:

Forstå Interval af konvergens

Fra dette resultat, forholdet test fortæller dig, at serien:

  • Konvergerer når -1 <x <1
  • Divergerer når x <-1 og x> 1
  • Kan konvergere eller divergere, når x = 1 og x = -1

Heldigvis er det nemt at se, hvad der sker i disse to resterende sager. Her er, hvad serien ser ud, når x = 1:

Forstå Interval af konvergens

Det er klart, serien divergerer. Ligeledes her er hvad det ser ud, når x = -1:

Forstå Interval af konvergens

Denne vekslende serie svinger vildt mellem negative og positive værdier, så det også afviger.

Som et sidste eksempel antage, at du ønsker at finde intervallet konvergens for følgende serier:

Forstå Interval af konvergens

Denne serie er centreret ved 0, så det konvergerer når x = 0. Det virkelige spørgsmål er, om det konvergerer for andre værdier af x. Da dette er en vekslende serie, gælder dig forholdet test til den positive version af den for at se, om du kan vise, at det er absolut konvergent:

Forstå Interval af konvergens

First off, du ønsker at forenkle dette lidt:

Forstå Interval af konvergens

Dernæst du udvide ud eksponenterne og fakulteterne:

Forstå Interval af konvergens

På dette tidspunkt, en masse annullering er muligt:

Forstå Interval af konvergens

Denne gang er grænsen falder mellem -1 og 1 for alle værdier af x. Dette resultat fortæller dig, at rækken konvergerer absolut for alle værdier af x, så den alternerende serien også konvergerer for alle værdier af x.


© 2022 Zajacperrone.com | Contact us: webmaster# zajacperrone.com